一次函数的性质

在一次函数y=kx+b(k≠0)中：

1．当k>0时，y的值随x的增大而增大，这时函数图象从左至右上升．

2．当k<0时，y的值随x的增大而减小，这时函数图象从左至右下降．

3．k，b决定直线位置，反过来，直线的位置可决定k，b的符号．

注意 直线y=kx+b的位置与k，b的关系：

1．当k>0，b>0时，直线过第一、二、三象限(不过第四象限)．

2．当k>0，b<0时，直线过第一、三、四象限(不过第二象限)．

3．当k<0，b>0时，直线过第一、二、四象限(不过第三象限)．

4．当k<0，b<0时，直线过第二、三、四象限(不过第一象限)．

如图所示：

k>0，b>0

k>0，b<0

k<0，b>0

k<0，b<0

例1 下面是四个同学分别写出的一次函数y=kx+b的一条性质，其中正确的是( )．

A．b>0时，y随x的增大而增大

B．b<0时，y随x的增大而减小

C．当k>0，且b<0时，y随x的增大而减小

D．当k<0时，y随x的增大而减小

答 D．

[解析] 一次函数的增减性只与自变量的系数k有关．k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小，与常数项b没有任何关系．

例2 若点A(2，a)，B(3，b)在函数y=－x+1的图象上，则( )．

A．a>b

B．a

C．a=b

D．a，b的大小关系不能确定

答 A．

[解析] 〈方法一〉在函数图象上，点的坐标适合函数解析式，即A(2，a)在y=－x+1的图象上，说明当x=2时，y=a，a=－2+1=－1，同理b=－3+1=－2，故a>b．

〈方法二〉直接用一次函数性质比较．∵y=－x+1中k=－1<0，y随x的增大而减小，从A点到B点，自变量x由2增加到3，那么函数值从a到b则减小．

例3 下列函数中，y随x的增大而减小的是( )．

A．y=－1/2x+3　B．y=0．02x

C．y=x+1 　　　D．y=－2+3x

答 A．

[解析] B、C、D中自变量的系数k都大于0．

例4 一次函数y=－x－1的图象不经过( )．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答 A．

[解析] k=－1<0，从左至右斜向下方(下降)；

b=－1<0，与y轴交点在x轴下方，

故过二、三、四象限，不过第一象限．

例5 已知一次函数y=kx+k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过( )．

A．第一、三、四象限

B．第一、二、三象限

C．第一、二、四象限

D．第二、三、四象限

答 B．

[解析] 这里y随x增大而增大，所以k>0，常数项b=k>0，与y轴交点在x轴上方，故过一、二、三象限．

例6 函数y=kx－2中，y随x的增大而减小，则它的图象是( )．

A

B

C

D

答 D．

[解析] 因为常数项b=－2，与y轴交点坐标为(0，－2)在x轴下方，排除A，C．

又因为y随x的增大而减小．图象从左到右下降，排除B，故选D．

例7 若一次函数y=(2－m)x+m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是＿＿．

答 m>2．

[解析] 解这类题，先画草图，根据函数图象过第一、二、四象限，说明图象从左至右下降，k<0，与y轴交点在x轴上方，b>0，故∴m>2．

例8 直线y=kx+b过第一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第＿＿象限．

答 二．

[解析] 直线过第一、二、四象限，从图象中可知k<0，b>0，则新的直线y=bx+k中：

自变量的系数为b>0，说明y随x的增大而增大，图象从左至右上升，常数项为k<0，说明与y轴交点在x轴下方，故过第一、三、四象限，不过第二象限．