平面图形的密铺

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌．

注意 1．“不留空隙、不重叠”指的是图形在同一个拼接点处若干个角的和恰好是一个周角360°．

2．只用一种正多边形进行密铺，只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他正多边形都不行．

3．一般地，三角形、四边形都可以进行密铺．

4．几种常见的用两种正多边形可以密铺的有：正三角形和正方形；正三角形和正六边形；正方形和正八边形．

例1 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．

(1)请根据下列图形，填写表中空格：

(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?

(3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由．

解 (1)

(2)正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形．

(3)正方形和正八边形，草图如图．设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解，即2m+3n=8的整数解．

因为这个方程的整数解只有一组，所以符合条件的图形只有一种．

例2 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

第1个

第2个

…

第3个

(1)第4个图案中有白色地面砖＿＿块；

(2)第n个图案中有白色地面砖＿＿块．

答 (1)18；(2)4n+2．

[解析] 拼图的规律是：每增加一块黑色砖的同时要增加4块白色砖．

(1)第一个图案中有6块白色砖，故第四个图案中有6+4×(4－1)=18块白色砖；

(2)第n个图案与第一个图案相比，增加了(n－1)次白色砖，且每次增加4块，故它共有白色砖；6+4(n－1)=4n+2．

例3 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形，正四边形，正六边形，那么另外一个为( )．

A．正三角形 B．正四边形

C．正五边形 D．正六边形

答 B．

[解析] 在一个拼接点处四个角的和为360°．

已知三个角分别为60°、90°、120°，则第四个角是90°，故是正四边形．