任意角的三角函数

1．任意角的三角函数定义

设α是一个任意大小的角．角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是

2．正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数．

注 确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为0．

3．三角函数值的符号

各三角函数值在每个象限的符号如图(各象限注明的函数为正，其余为负)．

例1 已知sinα>sinβ，则下列命题成立的为( )．

A．若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ

B．若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ

C．若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ

D．若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ

答案 D．

A．{—2、4}

B．{—2、0、4}

C．{—2、0、2、4}

D．{—4、—2、0、2、4}

答案 B．

例3 已知点P(sinα—cosα，tanα)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围( )．

分析 在同一直角坐标系中作出单位圆和直线y=x，由已知有sinα>cosα，故角α的终边应该落在直线y=x的上方半个圆内．

又∵tanα>0，角α的终边应该落在第Ⅰ、第Ⅲ两个象限内，如图，可知．应选B．

例4 (1)角α的终边上一个点P(4t，—3t)(t≠0)，求2sinα+cosα的值．

(2)已知角β的终边在直线上，用三角函数定义，求sinβ和cotβ的值．

分析 (1)由题目特点，可考虑利用三角函数的定义求解．

解 据题意，有x=4t，y=—3t，

(2)设P(a，)(a≠0)是角β终边y=上一点，则．

若a<0，则β是第三角限角，r=—2a，

此时；

若a>0，则β是第一角限角，r=2a，

此时．

评注 本例(1)(2)中参数t和a都是不为零的实数，所以应对它们分类讨论，这是不应忽略的．

例5 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．

(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．

解 (1)设弧长为l，弓形面积为S，