相似三角形的性质
1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.相似三角形周长的比等于相似比.
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例1 两个相似三角形的对应高的比为5∶7,其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小4cm,求这两个三角形的周长.
解 相似三角形对应高的比等于相似比,对应周长的比等于相似比.设较小三角形的周长为xcm,则较大三角形的周长为(x+4)cm.
所以两个三角形的周长分别为10cm、14cm.
例2 已知:如图,在△ABC中,D为AB边上一点,E为AC边上一点,△ADE∽△ABC,若AD=3,AB=6,DE=2.5.
(1)求BC的长;
(2)证明DE∥BC.
答 (1)因为△ADE∽△ABC,所以=
(2)因为△ADE∽△ABC,所以∠ADE=∠ABC.
所以DE∥BC.
例3 三个相似三角形面积和为232cm,对应边之比是2∶3∶4,则这三个三角形面积分别是__.
答 32cm,72cm,128cm.
[解析] 根据相似三角形面积之比等于相似比的平方.
设三个三角形面积分别为xcm,xcm,xcm则x∶x∶x=4∶9∶16.
∵三个三角形面积和为232,∴每份.
∴三个三角形面积分别为4×8=32,9×8=72,16×8=128.
例4 如图,有一块三角形土地,它的底边BC=100m,高AH=80m.
某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼,D、G分别在边AB,AC上,若大楼的宽DE是40米,求这个矩形面积.
解 由已知条件可知△ADG∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于对应边的比.
∴矩形面积S=50×40=2000(m).
[解析] 解决三角形内接矩形或内接正方形这类问题,常用办法是根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质.
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