三角形的外接圆
三角形三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是这个三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
注意 1.锐角三角形的外心在三角形内部;
2.直角三角形的外心在斜边中点处;
3.钝角三角形的外心在三角形的外部;
例1 下列说法正确的是( ).
A.三点确定一个圆
B.三角形有且只有一个外接圆
C.四边形都有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
答 B.
[解析] A中的三点必须不在同一直线上.
C中任意四边形不一定都有外接圆.
D中圆有无数个内接三角形.
例2 下列命题中的假命题是( ).
A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.三角形外心一定在三角形一边的中垂线上
D.三角形任意两边的中垂线的交点,是这个三角形的外心
答 B.
[解析] 三角形外心是三边垂直平分线的交点,到三个顶点距离相等,而到三角形三边距离相等的点在三个内角平分线的交点处,这个点不是三角形的外心,而是内心.
例3 现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片,想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子,请问这块残片还有用吗?怎样去配制呢?
方法:①在残片上任取三点A、B、C,连接AB、AC②分别作AB、AC的垂直平分线,并交于一点O.③连接OA,以O为圆心,OA为半径画圆即可.
例4 如图,在△ABC中,BD、CE为 △ABC的中线,延长BD到F,使DF=BD,延长CE到G,EG=CE.
求证:过A、G、F三点不能作圆
证明 连接AG、AF、BG、CF.
∵AD=DC、BD=DF,
∴四边形ABCF是平行四边形,故AF∥BC.
同理四边形AGBC是平行四边形,故AG∥BC.
∴点G、A、F三点在同一直线上.
∴过点G、A、F不可能作圆.
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