三角形的外接圆

三角形三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是这个三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

注意 1．锐角三角形的外心在三角形内部；

2．直角三角形的外心在斜边中点处；

3．钝角三角形的外心在三角形的外部；

例1 下列说法正确的是( )．

A．三点确定一个圆

B．三角形有且只有一个外接圆

C．四边形都有一个外接圆

D．圆有且只有一个内接三角形

答 B．

[解析] A中的三点必须不在同一直线上．

C中任意四边形不一定都有外接圆．

D中圆有无数个内接三角形．

例2 下列命题中的假命题是( )．

A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

B．三角形的外心到三角形三边的距离相等

C．三角形外心一定在三角形一边的中垂线上

D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心

答 B．

[解析] 三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，而到三角形三边距离相等的点在三个内角平分线的交点处，这个点不是三角形的外心，而是内心．

例3 现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问这块残片还有用吗?怎样去配制呢?

方法：①在残片上任取三点A、B、C，连接AB、AC②分别作AB、AC的垂直平分线，并交于一点O．③连接OA，以O为圆心，OA为半径画圆即可．

例4 如图，在△ABC中，BD、CE为 △ABC的中线，延长BD到F，使DF=BD，延长CE到G，EG=CE．

求证：过A、G、F三点不能作圆

证明 连接AG、AF、BG、CF．

∵AD=DC、BD=DF，

∴四边形ABCF是平行四边形，故AF∥BC．

同理四边形AGBC是平行四边形，故AG∥BC．

∴点G、A、F三点在同一直线上．

∴过点G、A、F不可能作圆．