特殊题型的综合解法

1．相邻元素——“捆绑法”

分两步完成：首先把相邻的元素捆在一起作为一个元素与其他元素作一次排列；再对捆在一起的元素进行排列．

例1 8个人站成一排，甲乙必须紧靠在丙的两旁，有多少种排法?

解 分两步进行：

(1)甲乙丙三人可以看成一个整体，与另外5人进行排列，有种排法；

(2)甲乙两人的位置可以互换，有种排法(丙只能排在甲乙的中间)．

由乘法原理一共有种排法．

2．相离元素——“插空法”

分两步完成：首先将没有限制要求的元素进行排列；其次再在每两个元素间插入不能排在一起的元素．

例2 排一张包括8个节目的演出表，其中的三个小品节目不能排在一起，有多少种排法?

解 分成两步进行：

第一步：先排其他5个节目，有种排法；

第二步：在排好的5个节目之间及两边有6个空位，选其中的3个位置，将三个小品节目插入，有种方法．由乘法原理，有种排法．

3．定位元素——“优先法”

首先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置．

例3 8个人站成两排，每排4人，其中甲必须站在前排，乙不能站在后排的边上，有多少种排法?

分析 甲、乙是特殊的元素，应首先加以考虑．

解 解法一 先排甲，有种排法．

其次排乙，有(甲排完后，乙可选前排余下的3个位置，后排中间两个位置)种排法，其余6人有种排法．

由乘法原理，一共有种排法．

解法二 先排乙，分成两类：

(1)乙在前排：乙——，甲有，其他6人，一共有．

(2)乙在后排：乙——，甲有，其他6人，一共有．

由加法原理，一共有14400种．

【说明】本题的甲、乙是特殊元素，必须做优先考虑．

4．直接求解有困难——“间接排除法”(即“正难则反”)．

例4 求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数．

解 长方体的8个顶点任取4个，有种，其中四个点共面的情况有两种：长方体的6个表面的四个顶点和6个对角面的四个顶点，因此一共有—(6+6)=58种．

5．定序元素——“缩倍法”(也叫“机会均等法”)

限制某几个元素必须保持一定的顺序．

例5 10个人排成一排，

(1)甲排在乙的左边的排法有多少种；

(2)甲排在乙的左边，丙排在乙的右边的排法有多少种?

解 (1)10个人排成一排，有种排法，其中甲排在乙的左边与甲排在乙的右边的机会是均等的，因此有种排法．

(2)甲乙丙三人的全排列有种排法，其中“甲排在乙的左边且丙排在乙的右边”只占其中的1/6，因此一共有种排法．

6．用“转化法”解题

例6 某人上楼，每一步走1个台阶或2个台阶，他一共走了8步，走了10个台阶，问：他有多少种走法?

解 此题可以转化为8步当中，哪两步走两个台阶的问题(其余6步均走一个台阶)，一共有种走法．

7．分“堆”问题——“隔板法”

解决把若干相同的元素分成若干“堆”，分配给若干人的问题．

例7 电视台把20台相同的电脑赠送给8所希望小学，每个学校至少一台，一共有多少种分法?

解 可以在20台电脑之间所形成的19个空中，插入7个“隔板”，就把20台电脑分成8份(每份至少一台)，分给8所小学，一共有种分法．

习题变式：求x+y+z=20的正整数解的个数．(答案)

8．表格法

有些较复杂的问题用列表使其直观．

例8 9人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人，组队出场，有多少种不同的组队方法．

解 由题设知必有一人既打前锋又打后卫，列表如下：

由表知，共有900种不同的方法．