导数的几何意义
曲线y=f(x)上任一点(x,y)的切线的斜率是f(x)在x处的导数,即
,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率是f′(x),相应地,切线方程为
y—y=f(x)(x—x).
例1 利用导数的定义,求下列函数的导数.
例2 证明 若函数f(x)在点x处可导,则f(x)在点x连续.
证明 要证f(x)在点x处连续,即证于是只要证:
f(x)〕=0,而利用函数f(x)在点x处可导可以证明这一点.
其逆命题:“若函数f(x)在点x处连续,则它在点x处可导”是否成立呢?回答是否定的,如函数y=|x|在点x=0处连续,但在点x=0处不可导,请读者自己给出证明.
例3 求证y=|x|在点x=0处连续,但在点x=0处不可导.
证明 只需证不存在即可证明在x=0处不可导.
∴f(x)=|x|在点x=0连续.△y=f(0+△x)—f(0)=|△x|,
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