导数的几何意义

书籍:高中数理化公式定理大全 作者:雷扬, 欧阳占宝, 夏力安 朝代:2008-10-01 专题:书籍

曲线y=f(x)上任一点(x,y)的切线的斜率是f(x)在x处的导数,即 ,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率是f′(x),相应地,切线方程为

y—y=f(x)(x—x).

例1 利用导数的定义,求下列函数的导数.

例2 证明 若函数f(x)在点x处可导,则f(x)在点x连续.

证明 要证f(x)在点x处连续,即证于是只要证:f(x)〕=0,而利用函数f(x)在点x处可导可以证明这一点.

其逆命题:“若函数f(x)在点x处连续,则它在点x处可导”是否成立呢?回答是否定的,如函数y=|x|在点x=0处连续,但在点x=0处不可导,请读者自己给出证明.

例3 求证y=|x|在点x=0处连续,但在点x=0处不可导.

证明 只需证不存在即可证明在x=0处不可导.

∴f(x)=|x|在点x=0连续.△y=f(0+△x)—f(0)=|△x|,

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