直角投影定理

两直线的相对位置除上述情况之外，还有一种情况有必要讨论因为它是处理一自然风光垂直问题睥基础作图经常会遇到，即一边平行投影面的直角投影定理。

一、直线平行投影面的垂直相交两直线的投影

 

垂直相交的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投同上的投影也必定互相垂直。反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。

如图2—26a、b所示，设相交两直线AB⊥AC且AB∥H面。显然，直线AB垂直于（因为）。今ab∥AB，则ab⊥平面AacC,因此，ab⊥ac,亦即∠bac=。

[例2—5] 如图2—27所示，已知一菱形ABCD的一条对角线AC，以及菱形的一边AB位于直线AE上，求该菱形的投影。

分析菱形的两对角线互相垂直，且交点平分对角线的线长度。

作图步骤（如图2—27b、c所示）：

（1）在对角线AC上取中点K，K点也必定是另一对角线的中点。

（2）AC是正平线，故另一对角线的正面投影垂直于。先过作，并与交于，由求出kb.

（3）在对角线KB的延长线上取一点D，使KB=KD（，kd=kb）,则和bd即为另一对角线的投影。连接各顶点A、B、C、D的同面投影，即得菱形ABCD的两面投影。

二、一直线平行投影面的交叉垂直两直线的投影

上述定理可推广到交叉成直角的两直线的投影情况。

垂直交叉的两直线，当其中一条直线为投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影也必定互相垂直。反之，若交叉两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。

如图2—28a、b所示，设交叉两直线AB⊥MN，且AB∥H面，MN不平行H面。证明见图2—28a;过直线AB上任意点A作直线AC∥MN，则AC⊥AB。由一直线平行投影面的垂直相交两直线的投影特性可知；ab⊥ac,今AC∥MN，则其投影ab∥mn,故ab⊥mn

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