三角形全等的条件

1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

2．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”．

3．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”．

4．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”．

5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边直角边”或“HL”定理．

注意1．判定两个三角形全等，要根据已知条件，来选择使用哪一种判定方法．

2．判定两个三角形全等的条件中，至少有一对边对应相等(三个角对应相等的两个三角形不一定全等)．

3．假如题中已知两对边相等，根据判别条件要寻找两条边的夹角相等，或另一对边相等，用SAS或SSS来判定．

4．假如题中已知两对角相等，根据判别条件要寻找另一对边相等，用AAS或ASA来判定．

5．假如题中已知一对边等，一对角等，根据判别条件，要寻找另一对角等，用AAS或ASA来判定，或者再寻找相等的角的另一条邻边对应相等，用SAS来判定．

6．判定两个直角三角形全等，优先考虑HL，不行时，再考虑用其他四种一般方法来解决．

例1 如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件＿＿，使△AEH≌△CEB．

答 AE=CE(或AH=CB或EH=EB)．

例2 如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌ △CDN( )．

A．∠M=∠N

B．AB=CD

C．AM=CN

D．AM∥CN

答 C．

[解析] 两边及其中一边的对角对应相等，两三角形不一定全等．

例3 如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是( )．

A．AD=AE

B．∠AEB=∠ADC

C．BE=CD

D．AB=AC

答 B．

[解析] 补充B选项后，两个三角形中仍无对应边相等，无法判定两个三角形全等．

评注 要证明两个三角形全等，至少有一对对应边相等．

例4 如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．

证明 在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD．∴AD=AE．

例5 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，∠D=∠ECA，EC=FD求证：AE=BF．

证明 ∵AB=CD，

∴AB+BC=BC+CD

即AC=BD．

在△AEC和△BFD中，

∴△AEC≌△BFD．

∴AE=BF．

例6 已知：如图，∠CAB=∠DBA，AC=BD，AD交BC于点O，求证：(1)△CAB≌△DBA；(2)OC=OD．

证明 (1)∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，

∴△CAB≌△DBA．

(2)由△CAB≌△DBA得∠C=∠D，

又∵∠COA=∠DOB，AC=BD，

∴△COA≌△DOB．

∴OC=OD．

例7 如图，P是线段AB上一点，△APC与△BPD是等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗?并说明你的判断．

答 相等．

[解析] ∵△APC和△BPD都是等边三角形．

∴AP=CP，BP=DP，

∠APC=∠BPD=60°．

∴∠APD=∠BPC．

在△APD与△CPB中

∴△APD≌△CPB(SAS)．∴AD=BC．

例8 如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离关系；

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明你的结论．

答 (1)OA=OB=OC．

(2)△OMN为等腰直角三角形．

[解析] ∵Rt△ABC，AB=AC，OC=OB，

∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°，

∴∠AOB=90°

∴△AON≌△BOM(SAS)．

∴ON=OM，∠AON=∠BOM．

又∵∠AOM+∠BOM=90°，

∴∠AOM+∠AON=∠MON=90°，

∴△OMN为等腰直角三角形．

例9 如图1，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以( )．

①

②

③

图1

A．带①去 B．带②去

C．带③去 D．带①和②去

答 C．

[解析] 怎样做一个三角形与已知三角形全等，可依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被打碎成三块，其中①仅留一角；②没边没角；而③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难作出与原三角形全等的三角形，故应选C．

例10 如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件＿＿．

答 ∠E=∠B或∠D=∠A或DF=AC．

[解析] 若补充∠E=∠B，则可以用“ASA”来判定△ABC≌△DEF；若补充∠D=∠A，则可以用“AAS”来判定．△ABC≌△DEF；若补充DF=AC，则可以用“SAS”来判定△ABC≌△DEF．因此，补充的条件可以是∠E=∠B或∠D=∠A或DF=AC．