不等精度观测值的平差

1．权的概念

在不等精度观测中，因各观测的条件不同，所以各观测值具有不同的可靠程度。在求未知量的可靠值时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，因较可靠的观测值应对最后的结果产生较大的影响。

各不等精度观测值的不同可靠程度，可用一个数值来表示，该数值称为权，用p表示。“权”是权衡轻重的意思。观测值的精度高，可靠性强，则权也大。例如，对某一未知量进行两组不等精度观测，但每组内观测值是等精度的。设第一组观测了4次，观测值为l，l，l，l；第二组观测了2次，观测值为l1′，l′。这些观测值的可靠程度都相同，则每组分别取算术平均值作为最后的观测值。即

两组观测合并，相当于等精度观测6次，故两组观测值的最后结果应为

但对x，x来说，彼此是不等精度观测。如果用x，x来计算，则上式计算实际是

从不等精度观点来看，观测值x是4次观测值的平均值，x是2次观测值的平均值，x和x的可靠性是不一样的，用4和2表示x和x相应的权，也可用2和1表示x和x相应的权，分别代入上面公式，计算x结果是相同的。因此“权”可看作是一组比例数字，用比例数值大小来表示观测值的可靠程度。

2．权与中误差的关系

观测结果的中误差愈小，其结果愈可靠，权就愈大。不等精度观测值的权与该组观测值的中误差有关。设对某量进行一组不等精度观测，设各观测值为l，l，…，l，其相应的中误差为m，m，…，m，各观测值的权为p，p，…，p，则权的定义公式为

式中，μ为任意常数。从式中可看出权与中误差的平方成反比。

例如，不等精度观测值l，l，l，其相应的中误差为m=±2″，m=±4″，m=±6″，按上式计算各观测值的权为

由此可见，权是一组比例数字，μ值确定后，各观测值的权就确定了。μ值不同，各观测值的权数值也不同，但权之间的比例关系不变。

等于1的权称为单位权，而权等于1的观测值称为单位权观测值，单位观测值的中误差称为单位权中误差，上例中μ=m时，p=1，即l为单位权观测值，l的中误差m称为单位权中误差。

在实际工作中，通常是在观测值中误差求得之前，需先确定各观测值的权。这时可按获得各观测值的实际情况，根据权的定义原理，确定各观测值的权。例如水准测量中，水准路线愈长，测站数愈多，观测结果的可靠程度愈差，精度愈低。因此，通常取水准路线长度L或测站n的倒数为观测值l的权，即

或

式中 c——任一大于零的常数。

3．不等精度观测值的最或然值——加权平均值

在不等精度观测中，各观测值具有不同的观测精度，最后的结果(即最或然值)用简单的算术平均值公式计算显然不合理，因精度较高的观测值，在最或然值中应占有较大的比例。设对某一量进行n次不等精度观测，观测值分别为l，l，…，l，各观测值的权为p，p，…，p，顾及各观测值在精度上的差异，测量上应取加权平均值作为该量的最或然值，即

或

式中，x是x的近似值，δ=l－x(i=1，2，…，n)。

不等精度观测的似真误差为v=l－x，代入下式：

[pv]=[p(l－x)]=[pl]－[p]x

将x代入，上式为

[pv]=0

因此，[pv]=0可作为计算的检核。但应说明：计算过程如果取位不够，[pv]将不会严格等于0。接近于0也可，它不影响最终精度的计算。

4．不等精度观测值的精度评定

(1)单位权中误差

单位权中误差与观测值中误差的关系式如下：

当n足够大时，中误差m可由真误差△代替，故

当真误差△未知时，可先求各观测值的似真误差v(v=l－x)，再根据v计算单位权中误差μ为：

(2)观测值中误差

各观测值的权p为

即　　　　　　　　　　　

观测值中误差m为：

(3)加权平均值的中误差

不等精度观测的平均值为：

设已知观测值的中误差为m，m，…，m，加权平均值的中误差为：

根据权定义式，即，代入上式得

因此加权平均值中误差m为：