函数的值域

1．函数值域的定义

在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

2．确定函数值域的原则

(1)当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；

(2)当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；

(3)当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定．

3．求函数的值域的方法

(1)直接法——从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；

(2)分离常数法；

(3)配方法——利用换元法将函数转化为二次函数求值域(或最值)；

(4)判别式法——运用方程思想，依据二次方程有实根，求出y的取值范围；

(5)换元法——适用于带有根式的函数；

(6)图象法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；

(7)反解法．

例1 求函数值域

y=x+2x+3，x∈[—1，2](配方法)

解 将二次函数配方有

y=(x+1)+2，

由图象可知区间[—1，2]落在函数递增区间上．

由函数单调性可知

y=(—1+1)+2=2，

y=(2+1)+2=11．

∴函数值域为[2，11]．

例2 求函数的值域

∴函数值域为{y|y≠1

注 形如(a≠0)的函数值域可用此法．

例4 求函数的值域．(换元法)

解 令(t≥0)

则

代入原函数

配方有

例5 求函数的值域(图象法)

分析 解决此题的关键是去绝对值，采用零点分段法．

解 解法一(数形结合)：画出函数的图象．

如下图所示，故值域y≥3．

解法二(数形结合)：

把y看作是点(x，0)到两定点A(—1，0)与B(2，0)的距离之和．故y≥|AB|=3．